Problema del lampione

Il Consiglio comunale ha deciso di mettere un lampione in un piccolo parco triangolare in modo che l’intero parco sia illuminato. Dove dovrebbe essere collocato il lampione? (Problema tratto da OCSE-PISA 2003)

Risoluzione

Rappresentiamo il parco come un triangolo e l’illuminazione di un lampione come un cerchio con il lampione posto al centro. Il problema sembra risolto determinando il centro del cerchio circoscritto al triangolo.

Tuttavia, come si può vedere dalle immagini sotto riportate, se il triangolo fosse rettangolo il lampione sarebbe posizionato nel punto medio dell’ipotenusa e se il triangolo fosse ottusangolo il lampione sarebbe al di fuori del parco. Queste due situazioni non sono accettabili considerando il problema reale.

Risoluzione con GeoGebra

Si fissa l’origine del sistema di riferimento nel vertice B e il semiasse positivo delle ascisse sul lato BC e A nel semipiano positivo delle ordinate:

Restano quindi variabili il punto A, con ascissa qualsiasi e ordinata positiva e l’ascissa del punto C positiva.

La soluzione proposta posiziona il lampione nel centro della circonferenza circoscritta, ottenuto come intersezione degli assi di due dei lati del triangolo, nel caso in cui il triangolo sia acutangolo. Nel caso di triangolo rettangolo o ottusangolo si è scelto di posizionare il lampione nel punto medio del lato opposto all’angolo retto o ottuso.

In GeoGebra sono state create quattro circonferenze con i centri nei 4 punti in cui posizionare il lampione e passanti la prima per un vertice qualsiasi, le altre tre per uno degli estremi del lato di cui il centro è punto medio.

Attraverso poi la definizione di tre variabili booleane g, h e i, vere o false a seconda che i tre angoli siano acuti o no, si è resa visibile solo la circonferenza voluta.

Ad esempio la condizione per la visibilità della circonferenza con centro nel punto medio del lato opposto ad a è

La condizione per la visibilità della circonferenza circoscritta al triangolo è

Nell'interattivo seguente varia le coordinate dei punti sotto l'immagine stilizzata del parco e osserva come varia la posizione del lampione L che lo illumina.