5. Iperbole

Si chiama iperbole l’insieme dei punti del piano tali che la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante.

L’equazione dell’iperbole in forma canonica

Per determinare l'equazione dell'iperbole consideriamo un punto generico P(x,y) e imponiamo che la differenza delle distanze di P dai due punti fissi F₁=(-f,0) e  F₂=(f,0), posti sull’asse delle ascisse, sia uguale a 2a (a>0), e procedendo in modo analogo a quanto fatto per l’ellisse si ottiene:

     

Ponendo poi f²-a²=b², (possibile perchè f>a) e dividendo entrambi i membri per a²b²  si ottiene l’equazione dell’iperbole

I vertici sono V₁=(a,0) e V₂=(-a,0) e gli asintoti hanno equazione

Se i fuochi sono sull'asse y si può dimostrare in modo analogo che l'equazione è  oppure

I vertici sono V₁=(0,b) e V₂=(0,-b) e gli asintoti hanno equazione

Se a=b l’iperbole è equilatera, cioè gli asintoti sono perpendicolari e coincidono con le bisettrici dei quadranti. L’equazione in questo caso è x²-y²=a² .