La classificazione

Caso 1: rangoA=1

L'equazione rappresenta un’unica retta reale contata due volte cioè il polinomio F(x,y) è il quadrato di un polinomio reale di primo grado.

Ad esempio

 

Caso 2: rangoA=2 e det B<0

L’equazione rappresenta l'unione di due rette che s'intersecano nel punto C soluzione del sistema dato precedentemente. Il polinomio F(x,y) è il prodotto di due polinomi reali di primo grado che rappresentano due rette incidenti. Per determinare le equazioni delle due rette si può risolvere l'equazione della conica rispetto a x o y, oppure si può determinare C e poi scrivere le equazioni delle due rette usando le due seguenti formule:

 

Caso 3: rangoA=2 e detB>0

L’equazione è soddisfatta in R dall'unico punto C che si ottiene risolvendo il sistema dato precedentemente.

Caso 4: rangoA=2 e detB=0

La conica rappresenta due rette parallele che però potrebbero anche essere complesse coniugate e in tal caso la conica non avrebbe punti reali.

Caso 5: rangoA=3 e detB<0

L’equazione rappresenta un'iperbole il cui centro di simmetria è il punto C soluzione del sistema precedente. Gli assi di simmetria dell'iperbole sono due rette passanti per C e hanno  equazione:

 e dove

Gli asintoti hanno equazioni

Nel particolare caso che l'iperbole è equilatera cioè i suoi due asintoti sono perpendicolari.

Intersecando la conica con gli assi di simmetria si determinano i due vertici.

Caso 6: rangoA=3 e detB>0

Bisogna distinguere due sotto casi:

• se  la conica non ha punti reali
• se la conica è un’ellisse con il centro di simmetria nel punto C,

dove è la traccia della matrice B e f(c₁,c₂) è il valore che il polinomio f(x,y) assume sostituendo a x e y le coordinate del punto C. Gli assi di simmetria dell’ellisse e i vertici si trovano con lo stesso procedimento svolto per l’iperbole.

Se a₁₁=a₂₂ e  a₁₁=0 si ha naturalmente una circonferenza.

Caso 7: rangoA=3 e detB=0

L’equazione rappresenta una parabola. In questo caso, l’insieme dei termini di secondo grado del polinomio costituiscono il quadrato di un binomio:

Allora, se a e b sono i coefficienti di x e di y del binomio, l'asse di simmetria della parabola ha equazione:

Il vertice si determina come intersezione della parabola con l’asse di simmetria e per stabilire la concavità si possono trovale le intersezioni con gli assi cartesiani.