2. Parabola

Si chiama parabola l’insieme dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Si chiama vertice di una parabola il punto d'intersezione della conica con l’asse di simmetria.

Equazione della parabola con asse di simmetria l’asse y e vertice nell’origine

Consideriamo una parabola con il vertice nell’origine e con asse di simmetria l’asse y. Il fuoco, che appartiene all’asse di simmetria della parabola, ha coordinate (0,f), f≠ 0. Poiché il vertice è un punto della parabola, è equidistante dal fuoco e dalla direttrice che quindi risulta avere equazione y=-f. 

P∈ Parabola ⇔ distanza(P, F) = distanza(P, direttrice)

PF=PH, quindi utilizzando la formula della distanza tra due punti nel piano si ha:

 

da cui

    

 

Ponendo poi

si ottiene che l’equazione della parabola con vertice nell’origine e asse di simmetria l’asse y è

y=ax²  con a≠0

 

Equazione della parabola con vertice nel punto V=(x_v, y_v) e asse di simmetria parallelo all’asse y

Per ottenere l’equazione della parabola con vertice nel punto V(xv,yv) e asse di simmetria parallelo all’asse y si opererà una traslazione della parabola con vertice nell’origine di vettore .

y=a(x-x_v)²+y_v     y=a(x²-2x_vx+x_v²)+y_v   y=ax²-2ax_vx+ax_v²+y_v 

Ponendo ax_v²+y_v=c e -2ax_v=b si ottiene che l'equazione della parabola cercata è

y=ax²+bx+c con a≠0

Dalle formule inverse delle sostituzioni sopra poste si ottengono le coordinate del vertice in funzione dei coefficienti a, b e c dell’equazione:

 

L’asse di simmetria è la retta d’equazione

Per b=c=0 il vertice è nell’origine.