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Scale logaritmiche

Spesso inconsciamente si misurano le grandezze con i logaritmi, dando molto più peso ai rapporti che alle differenze dei valori assoluti: se una città è a 30 km di distanza vi sembrerà lontana in confronto a un'altra che è a soli 5 km. Se invece parliamo di due luoghi lontani, che si trovano uno a 1250 km e l’altro a 1275, allora penseremo che siano più o meno nello stesso posto.

I logaritmi consentono di valutare rapporti anziché differenze:

La scala logaritmica è una rappresentazione grafica dei numeri reali positivi. 

  • Su una retta si rappresenta il punto di ascissa 1
  • Nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 101 , 102 , 103 , . . .
  • Nella direzione negativa si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di ascissa 10-1 , 10-2 , 10-3 , . . .
  • I valori intermedi tra una potenza di 10 e la successiva (ad.es. 2 , 3 , . . . 9 ) sono posizionati ai valori dei rispettivi logaritmi decimali

Le scale logaritmiche possono risultare utili per:

  • rappresentare misure positive con ordini di grandezza molto diversi fra loro;
  • linearizzare funzioni esponenziali y = K · ax    (scale semilogaritmiche);
  • linearizzare funzioni potenza y = A · xb    (scale doppiamente logaritmiche);

Con la scala logaritmica non si possono rappresentare numeri negativi poiché il valore dell’argomento del logaritmo deve essere positivo.

Carta logaritmica

Fra le linearizzazioni che si incontrano più di frequente ci sono quelle che trasformano una o entrambe le variabili attraverso la funzione logaritmo. La frequenza con la quale tale tecnica è usata, combinata con la difficoltà (fino a qualche decennio fa) del calcolo di logaritmi e antilogaritmi, ha fatto sì che in passato, per agevolare i calcoli, si diffondesse l'uso di una speciale carta millimetrata in scala logaritmica.

Oggi i grafici si fanno direttamente al calcolatore e diversi programmi commerciali di rappresentazione grafica hanno l'opzione di mostrare una o entrambe le coordinate in scala logaritmica. 

Lo scopo principale dell'uso della scala logaritmica è di espandere la scala in modo tale da permettere di rappresentare valori di diversi ordini di grandezza.

Carta semilogaritmica

La carta semilogaritmica è un foglio di carta millimetrata, in cui le suddivisioni orizzontali sono equispaziate (scala lineare), mentre quelle verticali sono riportate su una scala logaritmica.

L’uso della carta semilogaritmica consente di linearizzare funzioni che modellizzano fenomeni di crescita/decrescita esponenziale quali decadimento radioattivo, accrescimento di colonie di batteri, scambio di calore di un corpo con l'ambiente circostante, carica e scarica di un condensatore.

Dall’equazione della funzione che descrive la crescita/decrescita esponenziale descritta nel capitolo precedente

dividendo per a entrambi i membri si ottiene

da cui

e per le proprietà dei logaritmi

Essendo lne=1 si ottiene che il logaritmo di y è funzione lineare di x

Stima dei parametri

Viceversa data una funzione lineare su carta semilogaritmica la funzione esponenziale y=a.ebx è tale che:

  • Il parametro a è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate     
  • Il parametro b è il coefficiente angolare della retta.

Scegliendo infatti due punti sulla retta la sua equazione è

 da cui

che confrontata con il risultato precedente

da

 

Ad esempio stimiamo i parametri dell'andamento dei dati della tabella seguente che riporta le misure di tensione durante la scarica di un condensatore

t (ms) V (mV)
2 411
4 211
6 108
8 56
10 29
12 15
14 8
16 4
18 2
20 1

Le rappresentazioni grafiche dei punti in scala lineare e in scala semilogaritmica risultano

Scegliendo come punti della retta P1 = (2, 411) e P2 = (20, 1) si  ottiene:

  

Si ha quindi una stima dei parametri di questo andamento esponenziale.

Carta doppio logaritmica

La carta doppio logaritmica è un foglio di carta millimetrata, in cui sia le suddivisioni orizzontali che quelle verticali sono riportate su una scala logaritmica. La scala doppio logaritmica è utile per confrontare grafici di funzioni che in un dato intervallo assumono valori con ordine di grandezza molto diversi. Ad esempio si confrontino i grafici delle funzioni y=x2, y=x e y=√x nell'intervallo [1,1000]: