Esponenziali e logaritmi: funzioni, equazioni e disequazioni

Equazioni esponenziali

Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente di una o più potenze con basi positive e diverse da 1.

Equazioni esponenziali elementari

L’equazione esponenziale elementare si presenta nella forma

 a^x=b, con a>0 e a≠1

e risulta essere:

a)   impossibile se b≤0 (perché la funzione esponenziale è sempre positiva)

b)   determinata se b>0

Nel caso in cui sia determinata, l’equazione ammette sempre, essendo la funzione esponenziale iniettiva, una ed una sola soluzione. Tale soluzione è

• positiva se a >1 Λ b>1 oppure se 0<a<1Λ0<b<1  
• negativa se 0<a<1Λ b>1 oppure se a>1Λ0<b<1   
• nulla se b=1

Equazioni riconducibili alla forma a^f(x)=a^g(x)

Se l'equazione esponenziale si può ricondurre all'uguaglianza di due potenze con la stessa base, essendo la funzione esponenziale iniettiva, si ottiene un'equazione equivalente uguagliando gli esponenti:

f(x) = g(x)

Questa è un’equazione algebrica e quindi risolvibile con i metodi già noti.

Esempi

Equazioni esponenziali riconducibili ad equazioni elementari mediante sostituzione

Di seguito è riportato un esempio in cui, per risolvere l’equazione risulta comodo sostituire la potenza con una variabile ausiliaria. Ad esempio:

si pone y=2^x con y variabile ausiliaria e si ottiene

sostituendo si ottiene la soluzione dell’equazione

Equazioni esponenziali che si risolvono graficamente

Per determinare le soluzioni di un'equazione del tipo a^x=g(x), non risolvibile algebricamente, bisogna procedere con il metodo grafico, che consiste:

1. nello scrivere l'equazione come uguaglianza di due funzioni 
2. tracciare i grafici delle due funzioni,
3. individuare il punto o i punti di intersezione,
4. le ascisse dei punti di intersezione delle due funzioni rappresentano le soluzioni dell’equazione. Spesso non è possibile individuare i valori esatti delle soluzioni, ma si possono determinare gli intervalli cui appartengono.

Esempio

 

può essere riscritta nella forma

e individuate le due funzioni, l’esponenziale e la parabola,

si tracciano i relativi grafici:

 

Le soluzioni dell’equazione sono le ascisse dei punti di intersezione delle funzioni, in questo caso come si evince dal grafico le soluzioni sono due: la prima nell'intervallo (-1; 0) e la seconda in (1; 2).

Si sottolinea inoltre che le equazioni esponenziali che presentano uguaglianze di potenze con basi diverse, come si vedrà in seguito,  si risolvono mediante l’uso dei logaritmi.

Disequazioni esponenziali

Una disequazione è esponenziale quando contiene almeno una potenza in cui l’incognita è all'esponente.

Le disequazioni esponenziali elementari sono riconducibili a una delle seguenti forme:

a^x<b;    a^x≤b;    a^x>b;    a^x≥b;    

Poiché le funzioni esponenziali sono sempre positive, se b≤0 si ha che:

• la disequazione a^x<b  non ha soluzioni;
• la disequazione  a^x>b   è soddisfatta per ogni valore di x

Se il termine noto b è positivo e si può esprimere come potenza con base a, la disequazione del tipo a^x>a^k si risolve confrontando gli esponenti, ma tenendo conto che se a > 1 la funzione esponenziale è crescente, cioè a^x₁<a^x₂  se e solo se x₁<x₂, se 0<a<1 è decrescente, cioè a^x₁<a^x₂  se e solo se x₁>x₂. Quindi ad esempio la disequazione a^x>a^k ha le seguenti soluzioni:

Logaritmi

Dati due numeri reali positivi a e b, con a ≠1, a detta base e b argomento, si chiama logaritmo in base a di b e si scrive log_ab, l'esponente a cui elevare a per ottenere b, cioè

Il logaritmo in una data base di un numero è quindi l'unica soluzione dell'equazione esponenziale a^x=b, nelle ipotesi date su a e b. Si osservi che poiché b è uguale ad un valore della funzione esponenziale, sempre positiva, il logaritmo è definito se e solo se l'argomento è positivo.

Dalla definizione si ottengono le seguenti relazioni:

Proprietà dei logaritmi

I logaritmi godono di tre principali proprietà:

• il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori 

• il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo ed il logaritmo del divisore

   

• il logaritmo della potenza di un numero positivo elevato ad un esponente reale è uguale al prodotto di tale esponente per il logaritmo con la stessa base della base della potenza

Le suddette proprietà possono essere utilizzate per scrivere il logaritmo di un prodotto, di un quoziente mediante delle somme e differenze di logaritmi e viceversa la somma e la differenza di logaritmi con la stessa base possono essere scritte rispettivamente come logaritmi di un prodotto e logaritmi di un quoziente.

Formula del cambiamento di base

Vale la seguente formula:

Dimostrazione

Dalla definizione di logaritmo si ha:

Essendo a^x e c positivi, per la relazione 5 sono quindi uguali i logaritmi nella stessa base b di entrambi i membri e si ottiene:

 

Per la proprietà del logaritmo di una potenza si ha:

 

Si osservi che, essendo a≠1, log_ba≠0, ed è quindi lecito dividere per questa quantità.

Questa proprietà è importante perché permette di utilizzare valori approssimati dei logaritmi attraverso l’uso delle calcolatrici che consentono solitamente solo il calcolo di logaritmi decimali, log (logaritmi in base 10), e logaritmi naturali ln (logaritmi in base “e”).

Grafico della funzione logaritmica

Di seguito sono riportate le caratteristiche dei grafici della funzione y=log_ax per a>1 e 0<a<1 (muovere il punto sullo slider per variare la base).

Equazioni logaritmiche

Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita x compare nell'argomento di almeno un logaritmo.

Nel caso l'equazione sia l'uguaglianza di un logaritmo con un numero reale qualsiasi l'equazione si risolve utilizzando la definizione di logaritmo: 

log_aP(x)=b è equivalente a p(x)=a^b.

Si osservi che l'equazione ottenuta pone l'argomento uguale a un numero positivo, quindi la condizione di esistenza del logaritmo per le soluzioni dell'equazione sarà sempre verificata.

Se l'equazione logaritmica può essere ricondotta all'uguaglianza di due logaritmi con la stessa base, cioè può essere scritta nella forma

log_aA(x)=log_aB(x)

con A(x), e B(x) due funzioni nell’incognita x, allora per determinare le soluzioni è necessario ricordare che:

• le condizioni di esistenza dei logaritmi sono A(x)>0 e B(x)>0
• se b e c sono numeri positivi log_ab=log_ac se e solo se b=c essendo il logaritmo una funzione iniettiva.

Per determinare le soluzioni dell’equazione si possono quindi uguagliare gli argomenti dei logaritmi, ma potrebbero esserci soluzioni dell'equazione ottenuta per i quali gli argomenti dei logaritmi assumono valori negativi. Quindi o si studiano le condizioni di esistenza dei logaritmi presenti nell’equazione, attraverso la risoluzione del sistema di disequazioni

      

Si risolve l’equazione ottenuta uguagliando gli argomenti dei logaritmi A(x)=B(x) e si controlla se le soluzioni ottenute rispettano le condizioni di esistenza, cioè appartengano all’insieme soluzione del sistema risolto.

Oppure si risolve l’equazione ottenuta uguagliando gli argomenti dei logaritmi A(x)=B(x) e si sostituiscono le singole soluzioni nell'equazione iniziale  log_aA(x)=log_aB(x) per controllare se le soluzioni ottenute sono anche soluzioni dell’equazione logaritmica, o anche solo negli argomenti per controllare se sono positivi.

Esempi

Risolvere la seguente equazione logaritmica

ln(x-2)=1

Dalla definizione di logaritmo si ha x-2=e¹ da cui

x=e+2

Esempio 2

Risolvere la seguente equazione logaritmica

logx+log(x+2)=log3

si determinano le condizioni di esistenza dei logaritmi

si applicano le proprietà dei logaritmi e si uguagliano gli argomenti dei logaritmi

si risolve l’equazione ottenuta

L’equazione ammette due soluzioni ma una sola di esse, x=1, è soluzione dell’equazione logaritmica, poiché x = -3 non rispetta la condizione di esistenza del logaritmo.

Disequazioni logaritmiche

Una disequazione si dice logaritmica quando l'incognita compare come argomento di almeno un logaritmo.

Confronto di un logaritmo con un numero reale

Tenendo conto delle proprietà della funzione logaritmica per determinare le soluzioni di disequazioni del tipo log_aA(x)<>k si ha:

Confronto tra logaritmi con la stessa base

Se la disequazione logaritmica può essere scritta nella forma log_aA(x)<log_aB(x) o nelle simili a questa con gli altri versi di disuguaglianza, come per le equazioni, il primo passaggio consiste nel porre le C.E. (Condizioni di Esistenza) sugli argomenti dei logaritmi, ossia imporre che A(x) e B(x) siano contemporaneamente positivi e diversi da zero. A questo punto, è possibile confrontare gli argomenti, ma facendo attenzione a come si comporta la funzione logaritmica:

• Se a>1, la funzione logaritmica è crescente 

• se 0<a<1, la funzione logaritmica è decrescente

Si ha quindi

Esempi

1. log₃x>4 → x>3⁴→x>81
2. log_0,5x>3 La disequazione è equivalente al sistema delle due disequazioni: le condizioni di esistenza del logaritmo, la disuguaglianza tra gli argomenti dei logaritmi al primo e secondo membro con verso cambiato perché la base 0,5 è minore di 1,

Equazioni esponenziali che si risolvono con l’uso dei logaritmi

Se un’equazione o una disequazione esponenziale è del tipo a^f(x)=k, a^f(x)>k o a^f(x)>k, con k numero reale positivo non riconducibile ad una potenza di base a, per risolverla bisogna ricorrere all’uso dei logaritmi, ricordando che, per la definizione di logaritmo

e, per le disequazioni, tenendo conto delle proprietà della funzione esponenziale:

Esempio

Di seguito sono riportati alcuni esempi di equazioni e disequazioni esponenziali che si risolvono con l’uso dei logaritmi, che presentano prodotti e quozienti di potenze con basi diverse.

Esempio 1

Essendo il primo membro e il secondo quantità positive, sono uguali se e solo se lo sono i loro logaritmi:

Esempio 2

Essendo il primo membro e il secondo quantità positive, la disequazione è equivalente al confronto dei logaritmi con base maggiore di 1 dei due membri:

Si osservi che, avendo diviso per la quantità negativa log3-log4, è stato cambiato il verso della disequazione.