Crescita e decadimento esponenziale

Una grandezza cresce esponenzialmente quando ad intervalli di tempo uguali corrispondono incrementi pari ad una frazione costante del totale. Dunque più è grande la quantità di cui si dispone, più essa si accresce. 

Ambiti ed esempi di crescita esponenziale

I processi di crescita esponenziale sono molto comuni in campo finanziario, in biologia e in tanti altri settori.

Per capire la crescita esponenziale facciamo ricorso ad un indovinello per bambini: immaginiamo di avere un laghetto al centro del quale cresce una ninfea che ogni giorno raddoppia le proprie dimensioni. Se la ninfea potesse svilupparsi liberamente, dopo 30 giorni coprirebbe completamente il lago soffocando tutte le altre forme di vita. Se si decidesse di tagliare la ninfea quando le sue foglie hanno coperto metà del lago in modo da salvarlo da morte sicura in quale giorno si dovrebbe intervenire? La risposta è al 29° giorno, cioè vi sarebbe un solo giorno di tempo per rimediare ad una situazione che il giorno dopo diventerebbe irreparabile. Si noti che il 25° giorno era coperto appena poco più del 3% del lago: nelle crescite di tipo esponenziale all’inizio le cose vanno piano poi accelerano in modo impressionante.

Tempo di raddoppiamento

La crescita esponenziale viene spesso espressa attraverso il cosiddetto “tempo di raddoppiamento”, che è il tempo necessario affinché una grandezza raddoppi il proprio valore (incremento del 100%). Nel caso della ninfea che abbiamo appena esaminato il tempo di raddoppiamento è di un giorno.

Modelli di crescita esponenziale

Data una quantità iniziale N₀, se a è la frazione a cui corrispondono uguali incrementi in uguali intervalli di tempo la funzione che descrive un modello di crescita esponenziale è della forma

N(t)=N₀a^t

dove N(t) è la quantità all'istante t. Se invece è noto il tasso di crescita i% nell'unità di tempo la funzione che descrive un modello di crescita esponenziale è della forma

Infatti, dopo il primo periodo di tempo si ha

dopo il secondo

 e così via.

Ponendo 

dove e è il numero di Eulero, si ottiene un'altra forma della crescita esponenziale che esprime il valore della quantità N all'istante t:

dove N₀ indica il numero di elementi della popolazione all’istante t=0, k è una costante positiva che dipende dalla velocità di crescita espressa da 

ottenuta dalla sostituzione posta.

Dall’espressione di N(t) si ricava, la formula che permette di determinare il tempo di crescita di un fenomeno, cioè:

 

e in particolare ponendo N(t)=2N₀ si ottiene il tempo di raddoppiamento, precedentemente descritto:

Un modello di crescita cellulare

In particolari condizioni, dopo un certo intervallo temporale, una cellula si suddivide in due nuove cellule (dicotomia della cellula). Queste a loro volta raddoppiano dopo un intervallo di tempo uguale al precedente.

Assumendo come unità di misura dei tempi il cosiddetto tempo di raddoppiamento, il processo può essere schematizzato dalla progressione geometrica:

N(0)=N₀, N(n)=2^.N(n-1)=N₀^.2ⁿ

 dove N(n) è il numero delle cellule dopo t tempi di raddoppiamento.

Di seguito sono riportati alcuni esercizi che hanno come modello la crescita esponenziale di una popolazione cellulare che assume come unità di tempo il tempo di raddoppiamento della popolazione.  

Esercizi

Esercizio 1: Il tempo necessario per la suddivisione di una cellula è di 5 giorni. Calcolare il numero di cellule dopo 60 giorni partendo da un’unica cellula iniziale.

Soluzione: 60 giorni corrispondono a 60:5=12 tempi di raddoppio. Quindi, il numero delle cellule è N(12)=2¹² =4096 ≃ 4000

Esercizio 2: Una popolazione cellulare è formata ad un certo istante “t” da N₀ individui ed è caratterizzata da un tempo di raddoppio pari a 30 giorni.

A. Dopo quanto tempo, la popolazione risulterà composta da 15·N₀ individui?

B. Qual è il tempo di raddoppio di una seconda popolazione che passa da N₀ a 15·N₀ individui in 30 giorni?

Soluzione punto A

La legge di crescita della popolazione è data da

N(n)=N₀^.2ⁿ

dove N(n) rappresenta il numero di cellule dopo t tempi di raddoppio.

Si il numero di tempi di raddoppio n tale che 

N(n)=N₀^.2ⁿ →=N₀^.2ⁿ =15^.N₀→2ⁿ =15

da cui segue n=log₂15 tempi di raddoppio.

Ma, il tempo di raddoppiamento è 30, quindi

 

La popolazione cellulare caratterizzata da un tempo di raddoppio pari a 30 giorni, risulterà composta da 15·N₀ individui dopo 117 giorni.

Soluzione punto B

La legge di crescita è sempre della forma

N(n)=N₀^.2ⁿ 

Il numero di cellule diventa 15·N₀, come nel punto precedente, dopo n=log₂15 tempi di raddoppiamento.

Indicando con t il tempo di raddoppiamento della seconda popolazione, dalle ipotesi del problema segue:

Il tempo di raddoppiamento della seconda popolazione che passa da N₀ a 15·N₀ individui in 30 giorni è di circa 8 giorni.

Ambiti ed esempi di decadimento esponenziale

Non solo la crescita ma anche il decadimento di una grandezza può avvenire in maniera esponenziale. Per descrivere tali processi basterà modificare leggermente le considerazioni fatte precedentemente. Si consideri una grandezza caratterizzata dalle seguenti proprietà:

1. all'inizio è pari a un determinato valore,
2. in intervalli temporali di uguale lunghezza decresce di uguale fattore.

Queste proprietà sono quasi identiche a quelle viste sopra per la crescita della ninfea. L'unica differenza è che dopo un dato tempo la grandezza che ci interessa non sarà raddoppiata, bensì dimezzata.

Tempo di dimezzamento

La decrescita esponenziale viene spesso espressa efficacemente attraverso il cosiddetto “tempo di dimezzamento”, che è il tempo necessario affinché una grandezza dimezzi il proprio valore (decremento del 50%).

Modelli di decrescita esponenziale

La funzione che descrive un modello di decrescita esponenziale è della forma

dove Q₀ indica la quantità della grandezza all'istante t=0, Q(t) indica la quantità della grandezza all’istante t e k è una costante che dipende dalla velocità di decrescita.

Dall'espressione precedente si ricava, grazie all'uso dei logaritmi, la formula che permette di determinare il tempo di decrescita di un fenomeno, cioè:

Un esempio di decrescita esponenziale è il decadimento radioattivo di cui parleremo in un prossimo paragrafo.

In conclusione le funzioni esponenziali sono adatte a descrivere i processi di crescita e decrescita perché sono caratterizzate dal fatto che la grandezza osservata "aumenta (oppure diminuisce) di uguale fattore in intervalli di uguale lunghezza", anche se non si tratta sempre di processi temporali, ma soltanto del variare di una grandezza in dipendenza dall'altra (come ad esempio l'intensità di un raggio luminoso in funzione dello spessore della lastra di vetro attraverso cui passa).

I logaritmi in questi processi esponenziali di crescita o di decadimento vengono applicati per il calcolo di alcuni parametri della funzione quali il tempo di dimezzamento e quello di raddoppiamento, oppure per il calcolo delle costanti di crescita o decrescita.